圆周率的涵义你知多少(二):π与量子力学

 新闻资讯     |      2020-06-10 12:32

在前面圆周率的涵义你知多少?的文章里,我们就关于圆周率π的涵义的一些最基本而又重要的问题,尽量用最通俗的语言予以了最简单的解释。由于篇幅所限,未能具体讨论圆周率π在现代科学技术中的具体应用。在这篇文章里,我们具体列举一些圆周率π在量子力学中的应用,算是前面文章的续篇。也许,通过π在量子力学中的应用,你还可以具体地了解一点量子力学。

黑体辐射指处于热力学平衡态的黑体发出的电磁辐射。黑体辐射的电磁波谱只取决于黑体的温度。1900年12月4日,被定为量子力学诞辰的日子,德国物理学家普朗克在柏林科学院发表报告,通过将维恩定律加以改良,又将玻尔兹曼熵公式重新诠释,他得出了一个与实验数据完全吻合的普朗克公式来描述黑体辐射。这个公式拉开了量子力学研究的序幕。

上面为以能量密度频谱形式表示的普朗克定律。由于篇幅所限,这里不便解释公式及其符号具体含义,目的只在于是了解公式中圆周率π的呈现。

基于上述普朗克在研究物体热辐射的规律的发现,只有假定电磁波的发射和吸收不是连续的,而是一丁点一丁点地进行的,计算的结果才能和实验结果相符。这样的一丁点能量叫做能量子,每一丁点能量子等于普朗克常数乘以辐射电磁波的频率,这样的关系式称为普朗克关系式。其中普朗克常数 h 是一个物理常数,用以描述量子大小,在量子力学中扮演极为重要的角色。鉴于π在量子力学公式中的广泛应用,为方便起见,常用下面所示的约化普朗克常数 (h 上加一横,读作h吧),以便消除量子力学公式中常出现的π:

不确定性原理量子力学的一个基本原理,由德国物理学家海森堡于1927年提出。 该原理表明:一个微观粒子的某些物理量(如位置和动量,或方位角与动量矩,还有时间和能量等),不可能同时具有确定的数值,其中一个量(Δx)越确定,另一个量(Δp)的不确定程度就越大。其乘积的不确定性,必然大于或等于普朗克常数 h 除以4π,即大于或等于约化普朗克常数 除于2。其公式表示为:ΔxΔp≥h/4π或 ΔxΔp≥/2。

从上面的不确定性原理表达式你可以看出,为什么需要用约化的普朗克常数 以便消除量子力学公式中出现的π。所以,如果你见到任何一个量子力学公式里出现有符号 ,那么在其背后一定存在有圆周率π的身影。

上面所示的薛定谔方程又称薛定谔波动方程,是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程。它描述微观粒子的状态随时间变化的规律。微观系统的状态由波函数来描写,薛定谔方程即是波函数的微分方程。若给定了初始条件和边界的条件,就可由此方程解出波函数。这个方程体现了量子力学方程从基础上就与圆周率π具有密切联系。以此量子力学基本方程为基础,自然演绎出许多与圆周率π相关的量子力学方程式。

由于π用于线性代数中的特征值及波动与谱特征周期性描述的特殊作用,在量子力学中常使用角频率ω(也叫做角速率、角速度标量),是对旋转快慢的度量。因为旋转一周的弧度是2π,所以如果你见到任何一个量子力学公式里出现有角频率ω,那么在其背后也一定存在有圆周率π的身影。

在量子力学公式中,包含有约化普朗克常数 和角频率 ω 的公式很多很多,也就是说这些量子力学公式与其公式表达中所反映的圆周率π具有不可分割的紧密联系。下面我们仅举例列出一些这样的基本而又重要的、具有代表性的量子力学常用公式。

在不久前的《数学物理学杂志》上的一篇论文中,美国罗切斯特大学数学家塔玛·弗里德曼(Tamar Friedmann)和著名物理学家卡尔·哈庚(Carl Hagen)提出了一个来自物理学的对圆周率π的直接证明。哈庚是预测希格斯玻色子的物理学家之一。

我们知道,在任何原子中,电子绕原子核运转。氢原子是最简单的,其原子核是一个单质子,氢原子只有一个电子。但是电子不能在任何地方绕行,并且每个特定的轨道状态都有特定的存储能量。这些状态称为原子的能级。这些状态取决于电子的角动量 l,可以精确地计算出来。给定角动量 l 的最低能量状态由以下公式给出:

基于玻尔对应原理(correspondence principle),上面这两个公式的比率趋于1,故我们可以得出如下等式:

我们现在许多人都知道,量子力学是描述微观物质的理论,是现代物理学的基本支柱之一,当代许多先进科学技术领域都与量子力学相关,如当代原子物理、固体物理、核物理、粒子物理、宇宙天文、分子生物、材料化学、量子计算、量子信息等领域,都离不开量子力学基础。了解圆周率π与量子力学的密切关系,你就对圆周率π在当代科学技术领域中的意义与作用有了一个基本的认知。π已经远远地超出了其圆周率的本身涵义,成为当今宇宙间最为重要、最为普遍、最为了不起的常数。